C’est quoi la Matrice ?
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[Musique] bonjour et bienvenue dans cette séquence d’introduction aux concepts mathématiques de matrix alors c’est une séquence est un peu particulière aujourd’hui dans la mesure où c’est la première fois sur qui paie dia que nous rédigeons des notes alors si ça t’intéresse d’avoir une synthèse écrite de tout ce que je vais te raconter dans cette séquence ce qui peut forcément être intéressant pour ton études et bien n’hésite pas à aller sur le site de clips et dia si tu n’est jamais allé c’est trois fois w pour un clip et dia point b e tu trouveras sur ce site à l’endroit de cette vidéo un fichier pdf qui contient donc les notes que nous te proposons voilà alors on va voir ici une introduction donc aux matrices tout d’abord un petit mot sur ce qu est une matrice alors une matrice c’est un objet mathématique plus exactement un outil mathématique qui peut être très mystérieux au départ puisque il est relativement simple c’est un simple tableau de nombre 1 comme il est symbolisé ici ici tu vois des lettres avec des indices 1 à 1 à 1 2 à 2,1 à 2,2 etc ces lettres ah ben c’est sous ce sont tout simplement des nombres des nombres qui ont une place bien déterminer qui est donnée donc par les indices qui sont d’ici 1 1 1 2 2 1 2 2 etc ici on veut de matrix un petit peu plus concrète où l’on voit les nombres qui sont explicités et on voit qu’il y en ait une certaine quantité alors ses tableaux de nombre ces matrices elles sont en fait utilisés dans de nombreux domaines des sciences et techniques quand on a des problèmes qui implique des opérations mathématiques sur un grand nombre une grande quantité de nombre à la fois c’est par exemple ce qu’on est ici avec le système optique ici c’était relativement simple un système optique de lentilles ici est utilisé pour infléchir la trajectoire de rayons lumineux on voit le rayon lumineux ici un rayon lumineux peut être caractérisé par deux nombres c’est sa hauteur par rapport à l’axé optique est ici et son inclinaison et bien ces deux mondes on peut les enfermer dans une petite matrice de deux éléments et les lentilles elle-même qui provoque d’une modification de ses rayons eh bien on peut aussi les représenter par une matrice une matrice qui elle comportera quatre éléments voilà tu verra à l’usagé qu’il est très commode de représenter ce type de système à l’aide de matrix ça permet de faire toutes les opérations qui sont ici représentés par ces l’on dit de manière extrêmement simple et c’est un petit peu la même chose dans le domaine de l’électronique dans le domaine de l’électronique bien on a des circuits comportant que certain nombre d’éléments petit peu à l’image du nombre de l’antique on est ici ce sont des éléments qui ne modifie pas des rayons lumineux mais des tensions et des courants et on peut montrer donc ces éléments et bien on peut les caractériser on peut caractériser l’état de ces éléments par des matrices et le circuit dans sa totalité peut être représentée également un comme une grande matrix voilà c’est le formalisme matricielle de l’électronique le formalisme matricielle ici de l’optique géométrique un autre domaine des sciences c’est celui des statistiques les statistiques sont forcément important dans de multiples problématiques des sciences et techniques on voit ici un exemple de matrice de corrélation qui représentent également des opérations simultanément elle représente ici simultanément des opérations sur de grandes quantités de nombres je vais pas rentrer dans les détails bien entendu parce que tu dois comprendre avec les matrices en fait c’est qu’elles permettent de faire des opérations sur de grandes quantités de nombre en une seule fois c’est ce qu’on fait quand on fait la synthèse 3d par exemple quand tu veux modéliser un personnage en 3d comme ceux-ci battu défiler une surface une surface et fait deux points tous ces points sont caractérisés par une position à trois dimensions de sa va lire trois nombres en plus ça se fasse à une certaine inclinaison ce sont de nouveau des angles des nombres et en plus il nous fallait un des angles fota les positions les angles il faut encore colorier la surface il faut mettre des couleurs brrr âge etc on a plein de nombre ici qui sont enfermés en fait dans des matrices ces matrices elles permettent de faire des opérations collectives tous et tous ces nombreux vont être traitées de manière collective comme un seul objet qui va pouvoir se tourner qui va pouvoir être éclairer différemment et tout ça grâce aux calculs qu’on va faire en temps réel sur des matrices c’est la même chose et que l’imagerie médicale impro tenir ces images de scanner par exemple on utilise des processus physiques ont fait des mesures de grandeurs physiques il n’est pas facile de transformer ces mesures en d’image pour ça on utilise en fait le formalisme matricielle l’image elle-même d’ailleurs peut être vu comme une matrice à une image est un ensemble de pixels comme les pixels de l’écran avec lequel tu me regardes maintenant ses pixels s’entend d’un certain nombre ils sont tous caractérisés par des valeurs dénombre 1 ici c’est une image en gris donc il ya juste un nombre passera le niveau de gris on est ici une matrice lcd matrix plus compliqué puisqu’il des couleurs en plus voilà un autre exemple ici c’est celui de l’étude de la résistance des structures on peut étudier la résistance de cet avion ou force qu’il va subir en vol andy composant la carlingue de l’avion en petits éléments de surface comme ceci qu’on va appeler des éléments finis et chacune de cette petite surface est caractérisée par des nombres les forces par exemple qu’elles subissent et aussi les forces de résistance qu’elle offre à ses forces extérieures on a donc plein de petits nombres qui sont en grande quantité ici dans ce problème et qui sont traités donc au sein de tableau comme ceux ci au sein de matrix un dernier exemple celui la robotique robotique dans un certain nombre de libertés à chaque articulation en à un degré liberté par exemple l’articulation d’un coup de balai caractérisée par un grand angle et puis et puis un autre angle qui apparaissent et puis des positions restent peut imaginer qu’ils aient un bon de nombreux traités en même temps et on va les traiter sous forme de tableau comme ceux ci sous forme de matrix voilà ça te donne une idée déjà du domaine d’application des matrices et ça te donne donc l’idée que ces matrices permettent de faire des opérations sur un une grande quantité de nombre en une seule fois voilà alors je vais essayer de t’expliquer c’est un petit peu mieux maintenant détails mais bien sûr je ne vais pas aborder les problèmes aussi complexes que ceux ci je vais prendre un petit problème simple je vais supposer que tu as un petit peu de connaissances en informatique si c’est pas le cas mais tu n’as qu’à te projeter un petit peu dans l’avenir as tu as un petit peu de connaissances en informatique et tu as envie de développer un jeu vidéo alors pour ça il te faut un petit personnage que tu vas faire apparaître que tu peux faire bouger bien sûr à ton écran et pour en maîtriser la position mais il faudra bien sûr repérer ses positions dans un système tax un système tax cartésien ici la position horizontale sur un lac 6 la position verticale de thé pixels cessera dax y dévoile as tu vas maîtriser ici la position des pixels grâce à ces axes x et y alors admettons que ton petit personnage là du jeu 1 le faire se battre avec un sabre laser voilà son sabre laser qui vient d’apparaître alors essayez d’imaginer le problème de l’informaticien qui doit afficher comme ça une droite à l’écran quand il veut afficher une droite à l’écran comme ceci dit il doit utiliser bien sûr certaines règles sinon il obtient n’importe quoi sans écran s’il choisit par exemple un premier point ici pour le sabre laser qui est caractérisée par une position xy et bien pour tous les autres points il va d’abord commencer par faire varier x ici puis il va voir que le y doit obéir une certaines règles y va suivre les variations de x cantine ubi y va augmenter comme le montre cette petite animation ici tu l’as compris en fait il faut que x et y obéissent à une condition pour former cette droite là et cette condition bien sûr c’est l’équation de la droite qui vient d’apparaître ici à x + b y égale ap abp sont tout simplement des nombres des nombres qui vont caractériser cette droite qui vont caractériser sa position et son inclinaison alors tout n’est peut être pas familier que cette expression là de l’équation la droite athena connaît peut-être mieux sous cette forme 6 1 mais en fait voilà ici on a effectivement la pente on append de la droite et is it à leur donner à l’origine qui va donner la hauteur de la droite donc a priori c’est ça que j’aurais pu utiliser mais en fait ceci est plus général et c’est donc pour ça que je préfère ceux ci ceci est plus général parce qu’ici je ne peux pas représenter une droite qui est verticale par exemple ça serait dommage si tu ne peux pas représenter le faisceau laser verticale ici parce que si c’est le petit canif aux aa infinie ici or ici pour avoir une toile verticale mais il suffit de de fer beyala 0 tu vois que ax est égal à payer c’est une constante ta droite et vertical bref c’était pas familier que ceci va voir dans la séquence géométrie d’euclide peña l’équation de la droite tu verrais tout c’est très bien expliqué voilà ceci en fait c’est ce qu’on appelle une d’équations linéaires une équation linéaire et caractérisé donc par un lien entre x et y un lien mathématique entre xy qui fait apparaître x et y au premier degré la puissance de x et de y ici c’est un j’ai pas mis le un bien entendu quand une puissance en blâmer pas mais voilà il n’y a pas de caries s’il n’y a pas de cube ainsi avait des carrés dont on écrirait autre chose on décrivait des cercles ici ce n’est pas le cas c’est une droite qu’on veut on a donc bien ce qu’on appelle une équation linéaire linéaire bas tout simplement parce qu’elle représente une ligne droite voilà alors bon il te faut un adversaire à ce petit personnage bien entendu le voilà il est là lui avec son sabre laser ici qui va forcément répondre à une autre équation pour ranger tous les pixels vert ici l’informaticien elle va devoir implémenter une nouvelle condition sur x et lyrique qui est donc cette nouvelle droite ici six plus d y est égal à cul c’est une droite qui a priori est différente à me dire que l’éco efficience et des écus sont a priori différents de ab et paie forcément voilà et maintenant pour rendre ton au juge vidéo attractif et sympathique tu voudrais mettre ici des étincelles là où les sabres se touchent alors pour sabah il s’agit pas de l’indiquer n’importe où un bien entendu il faut trouver une valeur de x et de y qui corresponde à ce point précis qui est à l’intersection des deux droites dont les équations sont ici et bien pour ça c’est très facile de x ou y correspondent à cette intersection sont tout simplement les seules valeurs de x et de y qui répondent à la condition de la droite rouge ici cette équation là est à la fois à cette condition aussi de la droite verte ainsi les valeurs de x et de les y qui répondent à ces deux conditions à la fois mais ça veut dire que le point sera sur la droite verte et en même temps sur la droite rouge pour ça il n’y a qu’un point c’est le point d’intersection qui est là et en exprimant sa mathématiquement tu vas tout simplement dire que ces deux conditions aussi ces deux règles là ces règles que doivent respecter x et y est bien doivent être satisfaites simultanément si elles sont satisfaites simultanément tu vas trouver automatiquement la valeur de x et de hiré qui correspond à cette intersection et en faisant ça tu forment ce qu’on appelle un système d’équations linéaires tu es un système d’équations linéaires ici l’accolade et ci est importante ça veut bien dire que tu considères ces deux conditions tu qui que ces deux conditions sont bien simultanées il s’agit bien ici de trouver les valeurs de x et de y qui satisfont ces deux équations en même temps c’est donc bien ce qu’on appelle un système d’équations et linéaire tard position une équation tout simple quand je parle d’une équation une équation linéaire en l’occurrence eh bien ce sera juste ceci ax et galp et les lignes vers on peut le dire parce qu’à une puissance 1 2x ici quand on associe bien des choses sont très simples bien sûr pour trouver la solution à cette équation il me suffit 1 2 / a à gauche et à droite pour trouver que x vous paie sur à dans ce cas ci c’est très simple j’ai une équation ici j’en ai deux j’ai deux équations avec deux inconnus et la solution de ce problème eh bien ce sera bien ces deux inconnus à la fois c’est x et y que je vais rechercher voilà et c’est donc la solution de ce problème c’est donc bien un couple de nombre c’est bien xy et non plus un seul nombre comme je l’avais ici voilà et pour résoudre ce type de problème et bien on va utiliser les matrices comme je te le disais dans le style précédent assez bien des calculs collectif qu’on va faire ici je voudrais trouver x et y d’un coup en résolvant ce problème plutôt que une valeur de xc sera la valeur de x et de y que je vois là alors pour ça on va utiliser le journalisme matricielle alors voila tu vois ici j’ai écrit la traduction de ce problème si sous forme matricielle et tu vois apparaître devant toi donc des matrices les deux parenthèses que tu vois ici définissent une matrice alors dans la première matrice que j’ai écrite et si tu vois quatre éléments a b c et d c’est ce qu’on va appeler donc la matrice du système d’équations puisqu’on voit que c’est abaisser dès ce sont bien les coefficients de x et de y on appelait ça donc la matrice du système d’équations ici je voyais de matrix plus simple de deux éléments x/y c’est la matrice des inconnus n’y a que deux éléments c’est une matrice colonnes ici j’ai bien deux colonnes j’ai aussi deux limites fait une motrice 2 x 2 2 lignes de colonne ici je n’ai que deux lignes et une colonne l’animatrice deux fois une d’une certaine manière ici également une matrice de joie une institutrice colonies voilà alors comme je t’ai dit ceci la convention représente la même chose que ce qui est là c’est juste l’écriture matricielle de ce système d’équations linéaires alors pour retrouver bien sûr ces expressions si ces deux conditions seraient x et y mais je vais devoir définir ce qui se passe ici entre ces deux matrices et comme tu vois je n’ai rien écrit si entre ces deux matrices et bien ça veut dire que je vais en faire le produit je vais en faire le produit exactement comme je faisais le produit entre ax et si je m’étais rien entre ax à le dire que j’en sais le produit mais évidemment le produit ici on ne sait pas trop ce que c’est entre deux nombres de très facile mais entre deux matrices il faut le définir bien sûr je doit définir ici ce qu’est le produit de deux matrices de manière à obtenir l’expression les deux expressions que gilles a alors voilà il me faut à x + b direct je dois donc retrouvés à x + bénir et là dedans alors à x bats pas trop difficile je vois que vous retrouvez à xv à prendre le a essayé le x x ax je peux déjà d’écrire ensuite il peut fois plus je vais faire un plus ici et puis je vois que je peux avoir dénigré qu’en prenant ici le deuxième élément de la ligne ici avec un deuxième élément de la matrice collègues que j’ai ici je vais avoir des lyrics voilà ceci peut-être que ça te rappelle quelque chose un regard de bien ici a b x y et le résultat à x + b y peut-être que ça te rappelle la notion de produit scalaires si tu prends un pro le produit scalaires de deux vecteurs un vecteur de composantes a et b l’autre vecteur de composantes xy bien tu sais ce que c’est que le produit scalaires tu sais que c’est la somme un des produits des composantes prise 2 à 2 tu prends d’abord les composantes en x ici à ix qui obtient ax et puis tu fais plus le produit des composants dans y tu vas y c’est précisément ce qu on obtient tout se passe dans ce produit matricielle que je fais ici comme si je devais faire le produit scanner de la première ligne avec la colonne qui est ici à x + b y voilà alors ceci des sceaux doit être égale à ce vecteur colonnes ici donc ça veut dire que ce résultat ax plus big red hot et reagan hop etc est ici je vais donc le considérer comme le premier élément un dut de la matrice colonnes que me donnera donc ce produit est donc voilà ici je retrouve déjà donc ax plus by fatigue alpes et donc ceci me permet déjà de de te dire ce que je veux dire un signe égal entre deux matrices deux matrices sont égales à partir du moment où leurs éléments sont égaux 2 à 2 alors voilà ici j’ai bien la matrice le premier élément de la matrice ici qui était ya la paix j’ai donc bien ax plus big rich et canapés c’est bien ce que je dois avoir pour exprimer la première équation de mon système d’équations et la deuxième est caution mais tu l’as compris je vais obtenir tout simplement en faisant ici là même la même chose avec le sait je vais x x pour avoir ses mixes voilà je vais le faire voilà cx et puis je vais rajouter bien sur plus d y voilà qui est fait et j’ai donc bien ses excuses d y étaient invaincus voilà déjà deux choses importantes que tu as appris ici hein c’est faire un produit d’une matrice de choix du avec une matrice deux fois une une matrice de choix de avec une matrice colonnes que compris comment on fait on fait cette espèce de produits kadera excuses b y cx plus d y voilà et tu as appris maintenant que l’égalité entre deux matrices à implique que chaque élément est égal à l’élément correspondant de la matrice qui se trouvent de l’autre côté du signe égal bien sûr ceci n’est possible que si les matrices ont le même nombre d’éléments ainsi j’ai deux éléments ici en colonne by forget deux éléments que le dit si bien entendu voilà donc on est bien d’accord que selon cette convention que je viens de te donner sur le produit de la matrice et sur l’égalité qui est ici selon ces deux conventions ceci représente bien la même la même expression mathématiques que ceux ci ceci représente bien cette double condition sur x et y c’est l’écriture matricielle de ce système d’équations linéaires alors voilà je vais appeler cette matrice la la matrice à le choisit la première d’être ici pour désigner la lettre pour désigner le nom de la matrice c’est la matrice du système d’équations ce sont du coefficient 2 x et de y hisser retrouve jarre décédé ici j’ai la matrice des inconnus x et y la matrice des inconnus qui est donc un couple de nombreu x y et un couple de nombre qui représente bien un vecteur ceci c’est l’écriture classique du vecteur position que j’ai ici c’est ce couple de nombre x y c’est bien ça que je recherche c’est l’inconnue de mon problème je voudrais trouver x et y à partir donc de ces deux conditions qui sont ici exprimer sous forme matricielle et finalement ici j’ai la matrice de termes indépendant p est aussi donc une matrice colonnes qu on peut donc appeler un vecteur on appelle ça un vecteur c’est un couple de nombre voilà on peut appeler ça un vecteur colonnes ou une matrice colonies voilà j’ai introduit déjà donc un petit peu de jean cabu l’air pour te familiariser donc avec ce formalisme voilà alors si j’écris ça d’être d’accord que le problème maintenant on peut s’écrire de manière très synthétique en disant que ax est égale ap tout simplement à x x est égale ap avec ici bien sûr un produit qui est plus délicat que le produit que j’ai là bien sûr c’est un produit matricielle donc il faut savoir que les lettres grand a grandi que ces grands pays s’ils sont bien des matrices il faut bien savoir dans quel contexte tu es pour bien interpréter ce qui se passe ici 1 quand on écrit deux lettres l’une à côté de l’autre c’est bien pourquoi j’ai choisi si des lettres majuscules pour désigner les matrices et des lettres minuscules pour désigner de simples nombreux d’où simple skalli voilà donc on a la même écriture que ce qu’on avait pour une une seule équation est maintenant on pourrait se dire que si on arrivait à 10 visés par cette matrice à à gauche et à droite eh bien je retrouverai tout de suite la valeur de x c’est-à-dire du couple de nombreux ici xy si je sais faire ça mais je sais faire une opération collective j’ai tout de suite calculé x et y en une seule opération exactement comme je le fais ici avec une équation à une inconnue une simple équation linéaire alors en général avec la matrice on est prudent on écrit rarement comme ça une division par une matrice on préfère écrire linverse de la matrice on préfère dire / d’amatrices assez x 1 sur a et le 1 sera je vais écrire de manière assez abstraite ici en disant que c’est à exposants – 1 alors a exposé en faisant ça peut paraître très abstrait bien sûr on vient à peine de découvrir les matrices et je te propose déjà une matrice avec un exposé en moins à mes yeux rien de bien compliqué ça c’est juste une convention d’écriture qui te dit que cette matrice là c’est un verre de cette matrice là si je multiplie par la verve de la matrice ici eh bien je vais trouver à moins 1 fois à qui va se neutraliser exactement comme si je x à -1 ici je trouverai bien accueillie au à – 1 x p un jeu tiré et à monza c’est bien le 1 sur 1 kg et ici c’est bien ça que ça signifie voilà alors si je pouvais donner vraiment du sens de cette matrice si je pouvais te montrer qu’on peut calculer cette matrice très simplement eh bien ça serait formidable parce que ça te montrerai que les matrices elles permettent effectivement de faire des opérations sur des objets 1 qui présente qui contiennent plusieurs nombre c’est bien ça l’intérêt des matrices c’est qu’on va pouvoir développer une lgv qui permet de résoudre presque aussi simplement que ce qu’on faisait avec des simple équation tout seul vous pourriez le faire avec des avec de grands nombres voilà maintenant ce que je vais faire en fait c’est a montré que ceux ci est effectivement possible mais avant ça je voudrais te montrer qu’ on peut résoudre ceci bien sûr sans faire de calculs matricielle ceci c’est le formalisme matrix et on va l’oublier pour un temps je vais résoudre ceci sans passer par les matrices et tu verras que ça demande un certain nombre de doper rations et tu verras on prendra comme ça les intérêts des matrices puisqu’ici n’y a qu’une opération voilà donc je vais résoudre ça sent le formalisme matricielle voir comment est ce que je peux faire eh bien je vais tout simplement procéder par élimination de variables je vais tout simplement faire la différence de ces deux équations de manière à éliminer le y est ici alors si je les prends comme ça comme ça les équations en faisant la différence de ces deux équations je vais faire b y moins d y est comme b différent de d1 y il va pas disparaître donc pour faire disparaître le y ce que je vais faire ici c’est multiplier l’équation duo par des de manière à voir des fois des y voilà qui est fait et puis ici je vais la multiplier celle-ci par b à gauche et à droite je vais x b exactement comme si je les fais part des voilà je vous supplie par b comme ça j’ai bd y – bd y est le y est bien tombé il me restera plus que 2 x il me restera à des xe – dcx voilà à des xe – b6 je prends la première équation je retranche la deuxième j’aurais bien à des xe – pcx comme c’est écrit ici turba que j’écris toujours les lettres dans l’ordre alphabétique un comme ça c’est bien clair ici j’aurais bien des pays moins vécu des primes ont vécu voilà alors je vais m’arrêter ici deux secondes à parce que je sais que certains élèves ont des fois du mal à comprendre ce qu’ils font quand ils font des manipulations comme ça sur des équations est-ce qu’on peut réellement faire ce qu’on veut comme ça en additionnant des équations quel sens ça est-ce que je suis bien cohérent du point de vue mathématique mais la réponse est oui bien sûr quand je fais ceci quand je fais une opération comme ceci je profite tout simplement de la signification du signal et est ici quand je vais et galicie entre ces deux mondes russie de gauche et de droite salue tout simple on dit que le nombril est ici est égal aux dons c’est une évidence un mais bien souvent je réalise que les élèves ne compte ne tiennent pas compte de ça bref donc si je dis que ce nombre la vo 3d à dire que pro3 aussi c’est ce que j’écris ici alors ça ça paraît comme une évidence mais ceci devrait être la même évidence pour toi tu écris bien que ces deux nombres sont égaux ici je peux dire que c’est xd y est cuba valent 2 pourquoi pas voilà qui est écrit et puis à partir de la baie effectivement je peux faire n’importe quelle opération lui 6,6 à nombre sont égaux de 1,2 je peux également les sommets pour avoir 3 pouces de 5,3 plus de 5 je peux également vous multipliez à gauche et à droite ici auparavant c’est ce que je t’ai proposé ici en multipliant par 10 la part belle à si je multiplie par le même nombre de parts et d’autres mais je peux forcément laisser le signal et je vois que cette fois ci j’ai 6 + 2 qui va me donner 8 6 + 2 qu’il avait donné 8 voilà je peux même faire ainsi mieux moi ici bien sûr retranché le 2 est ici plutôt que l’additionner et j’aurais bien ici 6 – 2 qui vaut aux quatre et six mois ce qui vaut 4 le moins qui est bien le moins que je te proposait ici donc voilà ceci est bien cohérent j’ai bien ici quelque chose qui est une information mathématiques qui était bien d’enchaîner là dedans c’est bien cohérent du point de vue mathématique et ceci parce que je voulais puisque je veux avoir la valeur de x il me suffit de mettre le x en évidence ici devant le facteur ad – bc ad – bc x x et vivement un vécu et ceci me donne la valeur de x en divisant par un démon a baissé à gauche et à droite voilà la valeur de x et maintenant je vais faire la même chose pour éliminer cette fois-ci non pas y met x de manière à voir le iric alors pour ça que ce que je vois je vois que x et x a ici je vois qu’il est x c’est ici donc je vais x c’est ici aussi plutôt que par des je crois que j’ai assez est donc ici jeu x a bien entendu le hac et là je vais retrouver là de manière à éliminer les x 3,6 à ses x – ac x quand j’aurai fait le moins c’est bien ce que j’aurais aimé me restera juste baissé y moi à des y – ad voilà qui est écrit et si j’ai bien cp – accu comme c’est bien écrire il me suffit donc de mettre maintenant le y en évidence j’aurais bien – ad – ad plus baisser mois par mois me donne bien plus baisser y c’était moi qui bien sûr le moins qui est là je vais faire passer de l’autre côté en multipliant par moins un de chaque côté j’aurai donc bien à q – cp à la place de ski est là et le moins disparu ici voilà ça ça me donne l’expression de y maintenant y qui vaut à cuba cpi / ad – bc on voit qu’on a eu même dénominateur ici un ce qui est assez intéressant on le verra dans quelques secondes en attendant ça c’est ce que je cherchais j’ai résolu mon problème ici par élimination des inconnus d’abord y et puis x ça m’a permis d’obtenir l’aval de hicks et puis avec ceux ci c’est la solution de mon problème je sais maintenant quelle valeur de x et de dire est que je vais pouvoir adopter pour mettre le lait et les étincelles ici des deux sabres alors ceci ben voilà c’est typiquement un problème qu’un informaticien va rencontrer ici il faire jeu you may tu peux imaginer que pour les jeux vidéo élaboré en 3d tous à ce genre de problème peut devenir beaucoup plus compliqué on a des choses beaucoup plus complexes que ceux ci à résoudre mais ça te donne une idée donc de ce que tout ce qu’un informaticien doit faire et pourquoi il a recours aux formalismes matricielle et c’est donc ce que je vais faire maintenant ce que je vais faire maintenant c’est de montrer que ce résultat on peut l’obtenir tout de suite grâce à ce formalisme 6 1 qui permet une opération une seule opération qu’on va donc considérée comme une opération collective je vais obtenir x et y d’un seul coup en faisant cette opération là et pour ça je vais te montrer que cette matrice amoindri s’il existe bien on peut bien la formule et au travers du problème qui est ici je peux bien transformer ceci en ce qui est écrit ici alors pour ça la première chose que je vais faire c’est travailler sur le dénominateur ici on voit que les communs à x et y on voit qu’il ne dépend que de la matrice à un ca des moins baissé que j’ai il n’y a que les lettres a b c d de la matrice du système d’équations alors ça ben c’est tout simplement ad – b c à d je le retrouve ici ce sont les deux éléments diagonaux que j’ai là que je mets en produits et puis je retire – je retire baissé qui est l’autre diagonale de la matrice ici je fais moins baissé et sa baisse et un nombre qui va caractériser donc la matrice et comme tu le vois dans ce résultat c’est un nombre qui sera tout à fait des terminaux il sera déterminant parce que si par malheur il devait être nulle ben tu vois que tu aurais x et y y sont infinies ça veut dire que mon problème sans solution on voit donc que ce nombre russie caractérise de manière déterminante le la matrice du système c’est un nombre qui caractérise de façon déterminante le système d’équations et c’est la raison pour laquelle on va l’appeler le des terminaux et on va noter déterminant de haras qu’on va donc notez comme ceux-ci dette à on peut mettre un accent ici voilà ici gémir notation anglais ce qu’on en voit souvent déterminant de sa note comme si dès le t2 à c’est donc un nombre à je le répète ceci est un scalaire c’est bien le produit de ad auquel on retranche le produit de baisser c’est un nombre ce nombre je le répète il est déterminant parce que c’est lui qui va conditionner l’existence ou non de la solution à tous nos problèmes et c’est la raison pour laquelle on appelle le déterminant voilà donc je vais écrire ce problème aucun en simplifiant et si ces dénominateurs c’est toujours commode de simplifier ceci puisque c’est le même dénominateur je peux mettre déterminant de allah au dénominateur mais maintenant pour retrouver une forme matricielle c’est pas facile et que se détermine en là je vais injecter je vais le mettre ici à gauche en multipliant tout simplement à gauche et à droite par des terminaux 2a voilà qui est fait et ce nouveau problème si tu vois qui est maintenant c’est simplifier je trouve des paiements a vécu à cuillé – cp accuse – cp ici et à ça je peux donner une forme matricielle très simple c’est ce que je vais donc faire ici je vais écrire ceci ces deux égalités ici je vais vous écrire de manière matricielle je vois ici déterminant à x x d’état mais n’en a à x y ce sont bien les membres de gauche que j’ai ici et les membres de droite eh bien je vais les retrouver au travers de ce produit matricielle on connaît la règle du produit d’une matrice 2 x 2 avec une matrice vecteurs je sais que doit faire le produit scanner de la première ligne ici avec le recteur et la dp plus moimbé fois qu dp plus moi des fois que ça donne des témoins vécu un des paiements a vécu qui apparaît donc ici et puis j’ai ici – cp + 1 q – cp + 5 eu tout ça fonctionne bien on voit que ceci est bien l’écriture matricielle de ski est là je peux dans le continuer et maintenant j’en viens ici à mon secteur puisque je vois ici un que j’ai le vecteur xy dont les composantes sont multipliées par le même nombre déterminant de à je prends le vecteur xy de départ que j’ai ici et je vais multiplier ses composantes tard le même nombre lors ici pour le grave je vais l’appeler plus simplement sous la fois un donc dis toi que cela les failles ici ils peuvent aller voir déterminant de 1 c’est juste un loupé c’est un nombre légèrement plus grand que 1 ici puisque le voit que la grandit en multipliant par alpha je fais la même chose pour y alors quand je fais ça belge a grandi tout simplement le vecteur de ce coefficient alpha de ce nombre enfin c’est le facteur d’agrandissement de ce vecteur et j’appelle ça bien sûr alpha x ceci c’est la définition du produit d’un vecteur par un scalaire rappelle toi quand tu doubles un vecteur et bien tu doubles simplement les composantes de ce vecteur c’est bien ce qui est écrit ici si alpha vos 2 2 x x et bien c’est bien le vecteur dont les composants valent 2 x 2 y voilà ceci est tout simple ça me permet de définir ce qu’est la multiplication d’un scanner avec une matrice vecteur une matrice colonnes 1 comme ce facteur x y donc voilà je vais faire ça j’ai tout simplement dire que alpha x x alpha x y ce vecteur spécialistes c’est tout simplement alpha fois le vecteur x qui lui est tout simplement xy et donc je vais tout simplement mettre se déterminant de abc en évidence et ceci est bien ça te permet de définir ce qu’on appelle donc la multiplication d’une matrice par un scalaire quand on multiplie une matrice cologne comme ceux ci par un scanner et bien le résultat sera tout simplement ce que j’ai ici auparavant ce sera tout simplement les éléments de la matrice x ce nombre inquiétant d’évidence ici voilà donc on appris une chose en plus on a appris le produit matricielle ici on a appris ce que veut dire le signe égal entre deux matrices et on a appris ce que c’est que le produit d’une matrice colonies avec simple nombre scalaires voilà alors ceci ben voilà ça me simplifier un petit peu la vie ici parce que je peux maintenant / déterminante à à gauche et à droite de manière à l’amener donc du côté ici du membre de droite voilà qui est fait et maintenant j’ai ce que je voulais je vois que j’ai monde inconnu ici xy qui est égal à bath avec tom hicks bien sûr un jeté un monde inconnu collective ici j’ai bien deux nombres cette fois ci qui sont exprimés avec un seul symbole c’est le hic ce que je voulais ici de l’autre côté si je vois le paie que je voulais ici et donc je peux identifier ce que j’ai ici à la matrice inverse de la matrice du système qui était à la matrice inverse à -1 c’est bien ceux ci c’est bien la batterie ce qu’on est ici et là on est une petite difficulté à résoudre parce que je t’ai expliqué ce qui se passait quand on multipliait une matrice colonnes avec un scanner en obtenait ce 6 1 mais qu’est ce qu’il en est quand on a une matrice de quatre éléments de ligne deux colonnes x donc un nombre ici qu’est un sur le déterminant de a comme quel sens donner à ça que ce que j’avais fait avec la fin je vais le distribué seulement sur la première colonne seulement sur la deuxième sur les deux on ne sait pas bien répondre encore il faut définir ce qu’est le produit d’une matrice avec un masque à lire et pour sage ouvrir une petite parenthèse ici je vais prendre comme ce calleri 6-2 pour compte donner quelque chose d’un peu plus concret voilà qu’est ce que c’est que deux fois la matrice abcd d’accord qu’on ne peux pas encore répondre à ça on a répondu pour à une matrice vecteur on a vu que deux se distribuer simplement sur les deux éléments du vecteur mais quand y en a quatre qu’est ce que je dois faire je l’aide distribuée sur les deux premiers les deux derniers les quatre on ne sait pas je vais répondre à cette question ok et pour ça ce que je te propose de faire c’est de multiplier cette matrice à abc départ xy au préalable pourquoi est ce que je fais ça et bien c’est tout simplement pour obtenir un vecteur comme résultat on sait qu’on va avoir à x + b irait à excuses b y suivi de ces xd y pour le deuxième élément de ce vecteur et ça je suis capable de le multiplier par deux parce que je sais ce que vaut deux fois une matrice colonnes comme ceci je sais que je vais utiliser la règle des vecteurs c’est ce que je venais de t’expliquer ici et donc je peux le faire je peux dire ce que joe 2 fois abaissé d une fois xy y voilà je sais que c’est égal à ceux ci le 2 peut rentrer tout simplement dans les éléments ici de la matrice et ceci et bien je peux l’exprimer comme un produit matricielle je peux dire que c’est la matrice 2a 2b 2c et 2d x x y effectivement j’ai bien 2 alix devait y c’est bien ce qui est écrit l’ofs j’ai bien deux c’est x + 2 des y j’ai bien ce qui est écrit là est donc maintenant je peux identifier ce que j’ai ici pour que ce calcul soit cohérent et bien je suis forcé de dire que deux fois la matrice abcd c’est tout simplement la matrice de 1,2 b2c 2d j’ai bien le x y est ici je vois bien que tout est identique je peux donc tout simplement identifier ce deux fois la matrice abcd avec cette montre ici et je peux donc l’écrire ceci c’est une petite démonstration que j’ai fait comme ceci pour te montrer le genre de choses qu’on doit faire pour démontrer les propriétés des matrices qu’on vient de démontrer une propriété des matrices qui consiste à dire simplement qu’une matrice x un scalaire est transformé en mettant tout simplement ces éléments en multiples donc enfin x ce scanner en question à tous les éléments sont transformés en les multipliant par le 2 qui est ici voilà c’est très simple je peut généraliser ce à n’importe quel nombre bien sûr une matrice x un scalaire se transforme en multipliant chacun de ces éléments parce ce cas les voilà maintenant donc je suis content parce que je peux donner du sens à ce si cette matrice que je vais appeler donc à -1 linverse de la matrice à de mon système c’est cette matrice là et cette matrice là et bien est tout à fait accessible puisque maintenant je peux calculer ceci sans problème et je vous raconte simplement une matrice x en nombreux qui est un sur le déterminant de l’art alors cette matrice effectivement je peux la calculer sans problème on voit que c’est une matrice qui ne dépend que de la motrice a forcément ca – ah non c’est logique et on voit un que à aider ont tout simplement été échangés la règle c’est pour calculer l’un vers une matrice deux fois de l’est tout simple on a tout simplement échanger les éléments diagonaux le déviant la place duala vient la place du des comme tu peux le voir les bs et restent à leur place et sont simplement changer le signe c’est une simple petite règle que je peux faire comme ça je pourrais le faire tout de suite dès que je vois la matrice abcd je peux en calcul et la matrice inverse en divisant tout simplement ceci par le déterminant de à qui donner si c’est un des moins baissé si les différentes 0 je pourrai toujours faire le calcul de cette matrice et donc voilà ceci je peux le faire tout de suite tu peux passer de là à là et je fais une opération donc collectif puisque j’obtiens x qui étaient un couple de l’ombre en une seule opération et je répète c’est ça l’intérêt des matrices sait qu’on peut faire des opérations sur une certaine quantité de nombre en une seule fois et ça c’est formidable avant d’être très content de ce résultat je peux bien définir cette matrice -1 à la à -1 et j’en suis content pourquoi parce que j’ai ici un outil mathématique qui me sera extrêmement précieux pour résoudre des problèmes je vois que je peux faire de manière collective ce que je faisais pour une seule variable en utilisant de l’algèbre élémentaire il m’a suffit ici de x à moins à gauche à droite pour obtenir le résultat c’est exactement ce que je fais ici voilà c’est assez formidable ah parce que ça va nous permettre d’aborder les problèmes dont je te parlais dans l’introduction ici avec le robot et si on a une centaine de degrés de liberté on aura donc des matrices qui vont comporter de centaines d’éléments mais qui grâce à ceci grâce au calcul de la matrice inverse par exemple c’est un exemple de calcul bien sûr ce signal de milliers d’opérations qu’on peut faire sur les matrices mais ceci n’est jamais qu’un exemple qui te montre qu en une seule étape on peut résoudre un problème qui a priori était ardue pour résoudre le système d’équations qui est ici derrière auparavant des tu as vu j’ai dû faire toute une gymnastique calculatoire pour calculer x et y ici c’est une seule opération à partir de la connaissance de la matrice inverse voilà pour cet avion mais si l’on n’aurait ni un millier typiquement de ses lourds de grandeur des petits éléments qui sont ici qui permet de décomposer la carlingue de cet avion voilà on avait des matrices qui vont compter donc des milliers d’éléments ici ce sera encore pire on a des millions d’éléments on a des matrices qui font des millions d’éléments ici sur lesquels on peut faire des opérations aussi simple que ceci voilà tout ceci était amenée en fait au 19ème siècle par deux mathématiciens anglais à la et james sylvester c’est lui qui a introduit pour la première fois la notion de matrix c’est d’ailleurs lui qui a donné ce nom de matrix matrix en anglais voilà on comprendra dans les séquences qui vont venir pourquoi un tel nom pourquoi matrix voilà il s’est également intéressé à la notion de déterminant et son but était bien de raisons le système d’équations linéaires ya déjà pas mal de chose qui existait dans la littérature scientifique 1 notamment de la part du suisse kramer dont tu as peut-être déjà entendu parler on en reparlera dans la séquence qui vont venir qu’à verts qui avaient proposé une technique pour la résolution de ces systèmes d’équations linéaires qui faisait déjà part être quelque part cette notion de matrix bref j’aime ce investor a eu que ce que dirait le mérite de reprendre tout ça est de formaliser sa à la manière dont je te l’aï expliqué donc ici ensuite arthur kelly a repris donc le travail de sylvester il a pris le relais en quelque sorte pour développer à proprement parler l’algèbre matricielle qui est symbolisé par l’opération qu’on fait ici ici je fais une opération dans le domaine de l’algèbre dénombre simple de l’algérie tout simple que je fais ici et lui il a développé ce qu’on appelle la gn matricielle alors c’est une algèbre qui semble tout à fait comparable à ce qu’on dit ici mais on va l’aider est une chèvre bien plus compliqué tu peux l’imaginer et voilà donc ce arthur qu’il y est tout à fait formidable il a réussi à généraliser en quelque sorte l’algèbre dénombre à l’algèbre matricielle important donne une idée de 2 difficultés auxquels on peut être confrontés ici je vais multiplier si parra exposants – un hacker l’opération qu’on fait pour arriver à la solution ici si je suis ici voilà je vais x à -1 de façon à ce que am exposants – fois à se simplifient mme deneux 1 le inq était implicite ici et qui me donne bien à – 1 x p ceci est une opération très simple c’est la même opération qu’on fait ici mais qui implique comme tu le vois ici quand je multiplie par à – 1 g le produit de deux matrices de deux matrices deux fois 2e 100 n’a pas encore vu on a vu le produit d’une matrice 2 x 2 par une matrice colonnes on a vu comme c’était simple un produit scalaires de ça avec sa produits scolaires de ça avec ça maintenant ce sera plus compliqué on va devoir apprendre ça il ya des choses qui sont un peu subtile là dedans tout comme ici la simplification de à – 1 avec à je multiplie cette patrie si avec ceux ci et j’obtiens la priory 1 ça peut sembler bizarre savamment bringer des tableaux de choix 2 qui contiennent quatre éléments ça fait huit éléments au total je les combines pour obtenir un teint à on verra que ce 1 est très particulier ce sera l’unité matricielle on découvrira tout ça donc dans la séquence qui va suivre voilà donc n’hésite pas bien sûr à venir voir la séquence qui suit c’est là que les choses vont commencer on va voir les règles de base du calcul matricielle voilà pour l’instant je te remercie pour autant d’attention mais te dis donc à bientôt [Musique]