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Qu’est-ce que la variance et l’Écart-type ?

Qu’est-ce que la variance et l’Écart-type ?

Quel est le rôle de la variance ? Contrairement à l’étendue et à l’écart interquartile, la variance est une mesure qui permet de tenir compte de la dispersion de toutes les valeurs d’un ensemble de données. C’est la mesure de dispersion la plus couramment utilisée, de même que l’écart-type, qui correspond à la racine carrée de la variance.2 sept. 2021 Pourquoi on calcule l’écart type ? L’écart-type sert à mesurer la dispersion, ou l’étalement, d’un ensemble de valeurs autour de leur moyenne. Plus l’écart-type est faible, plus la population est homogène.14 mai 2020 Quel est la formule de variance ? La formule de la variance est V= ( Σ (x-μ)² ) / N. On démontre que V= ( (Σ x²) / N ) – μ². Cette formule est plus simple à appliquer si on calcule la variance à la main. Qu’est-ce que l’écart type en maths ? L’écart type, habituellement noté s lorsqu’on étudie un échantillon et σ lorsqu’on étudie une population, est défini comme étant une mesure de dispersion des données autour de la moyenne. Pourquoi utiliser l’écart type plutôt que la variance ? L’écart-type est dans la même unité de mesure que les données. Même avec peu d’habitude, il est donc assez simple à interpréter. En revanche, la variance a davantage sa place dans les étapes intermédiaires de calcul que dans un rapport.

Qu’est-ce que veut dire la variance ?
Quand utiliser la variance ?
Quel est le rôle de l écart type ?
Comment se calcule la variance ?

Qu’est-ce que veut dire la variance ?

La variance est l’écart carré moyen entre chaque donnée et le centre de la distribution représenté par la moyenne.2 sept. 2021

Quand utiliser la variance ?

La variance est utilisée dans le domaine de la statistique et de la probabilité en tant que mesure servant à caractériser la dispersion d’une distribution ou d’un échantillon. Il est possible de l’interpréter comme la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.19 janv. 2022

Quel est le rôle de l écart type ?

L’écart-type sert à mesurer la dispersion, ou l’étalement, d’un ensemble de valeurs autour de leur moyenne. Plus l’écart-type est faible, plus la population est homogène.14 mai 2020

Comment se calcule la variance ?

Cette formule s’énonce ainsi : la variance est égale à l’espérance du carré de X moins le carré de l’espérance de X.


alors dans cette vidéo on va expliquer ce que c’est que la variance d’une variable aléatoire et également ce que c’est que l’écart type est plutôt que de vous donner directement la formule qui permet de calculer la variance eh bien on va essayer d’expliquer pourquoi on a choisi cette formule du coup vous comprendrez mieux cette formule et du coup vous la retient dre plus facilement et pour cela on va partir d’un exemple concret imaginons un élève qui a eu quatre notes 10 10 10 et 10 et un autre élève caillou même contrôler les notes 0,20 5 et 15 alors si on calcule la moyenne du premier élève et bien comment on fait on fait la somme des notes et on divise par quatre donc ça fait 10 +10 +10 +10 bien vous l’avez compris ça fait 40 / 4 et bien sa moyenne eh bien ce sera tout simplement 10 c’était évident puisque à chaque fois il a eu 10 et si maintenant on calcule la moyenne du deuxième élève est bien là encore on fait la somme des notes et on divise par câble donc ça fait zéro + 20 ça fait vingt ça fait vingt-cinq et ça fait quarante à nouveau et 40 / 4 et bien à nouveau on a une moyenne de 10 mais regardez ici on a un élève qui est très régulier ici on a un élève qui est beaucoup moins réguliers et pourtant ça ne se voit pas quand on calcule les moyennes et donc la première chose à voir bien en tête c’est que si ici avec le premier élève on calcule sa moyenne ça fait 10 avec le deuxième élève ça fait encore disent donc on a la même moyenne mais pourtant on n’a pas affaire aux mêmes types d’élèves ici le premier élève est très régulier alors que le second l’est beaucoup moins et donc il faut bien comprendre que la moyenne elle ne permet pas de mesurer si un élève est régulier ou pas et donc du coup on va créer un deuxième indicateur vous en doutez ça va être la variance qui va permettre de mesurer la régularité d’un élève alors qu’est ce qu’on pourrait avoir envie de faire pour mesurer si un élève est régulier ou pas et bien l’idée c’est de calculer l’écart entre les notes et la moyenne donc à chaque fois on va prendre la note et on va enlever la moyenne donc ici je prends ma note ici ses valeurs selon les appels xxi donc je vais prendre chaque valeur et je vais enlever la moyenne donc je vais faire 10 – 10 ça me fait zéro où je calcule chaque valeur – la moyenne donc là encore je fais 10 – dis ça me fait 0 10 – 10 vous l’avez compris ça fait zéro et là encore ça fait zéro et maintenant on va faire exactement pareil avec la deuxième série de valeurs dont on comprend la note on enlève la moyenne donc ça fait zéro moins 10 et bien donc ça fait moins dix ont fait la deuxième valeur 20 – 10 donc je répète à chaque fois je prends la note et j’enlève la moyenne pour voir si ça s’écarte beaucoup ou pas donc je prends 20 – dit ça s’écarte de 10 5 – dit c’est bien ça fait moins 5 et 15 – 10 ça s’écarte de 5 est donc ici on a calculé des écarts et comme pour la moyenne on a envie de faire la somme des notes divisé par le nombre de notaires par quatre et bien ici on a envie de faire la somme des écarts et de diviser par quatre mais si on fait la somme ici ça va faire 0 0 et 0 donc ça à faire la somme des 4 0 ça fait 0 / 400 à me faire zéro et si je fais ici la même chose vous voyez que les -10 et 10 vont se compenser et le moins 5 et 5 vont se compenser également et donc si on fait la somme des écarts ici et qu’on divise par quatre et bien qu’est ce qu’on va trouver on va trouver encore 0 et donc ce qui est fondamental de bien comprendre c’est qu’il faut éviter qu’il y ait des valeurs négatives qui viennent se compenser avec des valeurs positives et donc pour éviter ceci et bien il faut sera menée avec que des valeurs positives et pour ça on a deux possibilités quand on a calculé cette différence est bien la première possible tu essaies d’en prendre la valeur absolue et la deuxième possibilité est bien c’est de tout élevée au carré et c’est exactement ce qu’on va faire maintenant donc je récapitule ici qu’est ce qu’on a sur cette ligne en a pris chaque note c’est à dire les notes que j’appelle xxi et j’ai enlevé la moyenne mais moi ce que je vais faire maintenant c’est que pour éviter que les moins ce qu’on pense avec les plus je vais élevée au carré donc je prends les notes – la moyenne et j’élève au carré donc le moins 10 bien ça devient au carré ça fait donc sans ici ça me fait sens ici ça me fait 25 et ici ça me fait encore 25 donc qu’est-ce que j’ai calculé en fait j’ai calculé les écarts au carré pour éviter que ça ne se compensent et maintenant j’en fais la somme donc ça fait sens plus sans ça fait 200 plus ici ça fait cinquante donc ça fait 250 et je vais divisé par le nombre de notes et donc ça faire 250 divisé par quatre et si vous faites le calcul ici ça fait soixante 2,5 et ce 62.5 c’est justement la variance de cette série sa mesure la régularité de l’élève alors que ici regardez si on refait le calcul donc je vais prendre toutes mes notes x – la moyenne mais j’élève au carré mais si ici j’ai l’avocat rekom cédé 0 et bien ça reste 0 et voyez que si j’en fais la somme est bien ça fait 0 / 4 ça fait encore 0 donc cette fois ci la variance ici elle vaut 0 alors que ici elle vaut 62,5 et donc on comprend bien que plus la variance va être grande ça veut dire que plus les notes s’écarte de la moyenne et la valeur la plus petite de la variance possible comme ce sont des sommes de carre la valeur la plus petite c’est zéro donc on peut pas avoir moins que zéro donc la variance la plus petite possible c’est zéro ça veut dire que toutes les notes sont confondus avec la moyenne et donc on voit ici que ici cet élève il est beaucoup plus régulier ça se voit pas ce que ça variance et 0 alors que ici cet élève il est beaucoup moins réguliers parce que sa variante elle est beaucoup plus grande alors avant d’aller plus loin j’aimerais revenir un tout petit peu en arrière ici j’ai élevé au carré pour éviter que ça de ce qu’on pense mais j’ai dit qu au passage on aurait pu prendre la valeur absolue et donc ici on aurait eu 10 10 5 et 5 alors pourquoi on élève au carré et on ne prend pas la valeur absolue c’est pour une raison un petit peu technique c’est que si vous continuez les probabilités et bien vous verrez que quand on a deux variables aléatoires qui sont indépendantes xy et qu’on cherche à calculer leur variance et bien on s’aperçoit qu’il ya des propriétés sur le carré qui sont beaucoup plus intéressantes que les propriétés de la valeur absolue et en particulier j’insiste bien quand vous avez deux variables aléatoires qui sont indépendantes et qu’on calcule la variance et bien on démonte la règle suivante que la variance 2x plus y cet égard la variance 2x plus variance de y ait cette règle elle marche bien quand on prend le car est ici mais elle ne marche pas quand on prend la valeur absolue donc pourquoi on a choisi le carré plutôt que la valeur absolue c’est qu’il ya des propriétés algébrique qui se déduisent de cars et qu’on n’aurait pas eue avec la valeur absolue donc maintenant récapitulons comme on l’a fait pour calculer notre variance on a calculé en premier la moyenne qui était dit c’est ensuite qu’est ce qu’on a fait une fois qu’on avait la moyenne on appris chaque valeur et on a calculé les carreaux carré donc on appris la valeur zéro la première valeur on a enlevé la moyenne 10 et on a élevé au carré pour éviter comme on l’a expliqué tout à l’heure que les moins ce qu’on pense avec les plus on a fait pareil avec les autres valeurs donc 20 – 10 on a élevé au carré on a fait pareil avec la troisième valeur 5 – dix on a élevé au carré et enfin avec la dernière valeur on a fait 15 – 10 et on a élevé au carré et ensuite on a fait la moyenne de toutes ces de tous ces carrés on a divisé comme il y avait quatre notes on a divisé par quatre et maintenant ce qu’il faut bien comprendre c’est que quand on divise par quatre c’est la même chose divisé / 4 c’est la même chose que de multiplier vous le savez par 0,25 par exemple / 2 c’est la même chose que faire x 0,5 et donc ce qu’il faut comprendre ici c’est que au lieu de diviser par 4 j’aurais pu multiplier chaque terme ici par 0,25 c’est ce que je vais écrire maintenant et donc c’est ce que j’ai écris ici j’ai pris chaque terme et au lieu de diviser par quatre les x 0,25 parce qu’il faut bien comprendre qu au départ mes notes mais quatre notes comme je n’ai pas précisée et bien sous-entendu leur poids leur coefficient c’était un pour chacune de mes notes mais dire que le coefficient c1 comme on fait la somme des collections il ya quatre coefficient eh bien ça ne change rien si on divise chaque coefficient par quatre et donc autrement dit ici nos quatre notes quelle est leur coefficient base 0,25 0,25 0 25 et 0 25 et donc faut bien comprendre que nos quatre notes elles sont associées à un coefficient ici c’est 0,25 à chaque fois puisqu’elles ont le même poids et donc si maintenant on essaye d’écrire une formule qu’est ce qu’on a fait ici ça c’est ma première valeur donc ça c’est x 1 – quoi – la moyenne au carré que multiplie le premier coefficient souvent les coefficients les appels p1 d’ici donc que multiplient p1 est exactement pareil pour les autres donc ici on a la deuxième note donc cx2 – la moyenne au carré que multiplie toujours le deuxième coefficient est exactement pareil jusqu’à la fin alors avant d’aller plus loin j’aimerais faire une précision importante c’est que si ici je reprends mes notes comme on avait je ne dis rien précisé sont entendus les coefficients c’était un 1 1 et 1 et comme on fait la somme de nos coefficient ça fait donc 4 on divise chaque coefficient par quatre ça fait 0 25 et 0 25 etc mais prenons un autre exemple ce faire les mêmes notes mais avec d’autres coefficient si par exemple le premier la première note lui associer un coef de 4 la deuxième un coef 2 3 celle là un coef 2-2 alors pour que ça tombe bien ça fait 9 et encore un ça me fait donc dix est bien ici la somme des coefficients ces dix ça veut dire que le poids à la première note ces quatre dixièmes ici ces trois dixièmes etc vous l’avez compris deux dixièmes et un dixième et donc ça veut dire qu’à chaque note on peut associer un nombre compris entre 0 et 1 mais de telle sorte que la somme des poids ici la somme des pois ça fait toujours un parce qu’en fait on fait la somme des coefficients et comme on divise par le nombre de coefficient est bien la somme de tous les coefficients ici ça fait 1 je répète ici j’avais 4 3 2 et 1 si je fais la somme de tout mais coefficient ça me fait 10 donc je divise tout part dit ça change pas les coefficients de tout divisé par dix et donc je peux toujours me ramener avec des coefficients ici qui sont toujours compris entre 0 1 de telle sorte que la somme soit égal à 1 et donc voilà on a réussi à trouver notre formule pour calculer la variance si on a quatre notes avec des coefficients p1 p2 p3 p4 qui sont positifs compris entre 0 et 1 et quand j’en fais la somme ça me fait un et bien voilà la formule pour calculer la variance est donc ce qu’il faut comprendre c’est qu’on a élevée au carré pour éviter que les moins ne se compensent avec les plus et bien si vous avez compris cette formule c’est exactement celle ci qu’on utilise pour calculer la variance d’une variable aléatoire alors prenons l’exemple dans le même style c’est que imaginons qu’on a une variable aléatoire qui nous donne le gain à un jeu et donc on a la loi de prat était alors comment ça se dit ça veut dire que le gain ça peut être zéro vingt cinq ou quinze avec les priorités 05 01 etc ça veut dire que la prime était de gagner 0 c 5 la priorité de gagner 20 euros c’est euros 1 etc voilà comment se lit ce tableau est bien la première chose à faire pour calculer la variance avant de calculer la variance et de calculer ce qui correspond à la moyenne tout à l’heure c’est ce qu’on appelle l’espérance de x c’est à dire c’est exactement ce qu’on appelle la moyenne pondérée et donc comment on fait et bien comme on l’a fait tout à l’heure on fait sa foi sa plus sa foi sa plus sa foi sa plus sa voix ça autrement dit on fait x 1 x p 1 + x 2 x p 2 et cetera jusqu’à x 4 x p 4 donc voilà j’ai complété ici et ensuite qu’est ce qu’on va faire une fois qu’on a calculé l’espérance et dire qu’il correspond à la moyenne eh bien on va regarder si les notes ces cartes ou pas de l’espérance donc on va exactement appliqué cette formule donc on va prendre chaque valeur donc ici on va prendre la première valeur on va faire 0 – ce qui ce qui correspond à la moyenne c’est à dire l’espérance on va élever au carré comme tout à l’heure pour éviter que les positifs ne se compensent avec les négatifs et on va multiplié par le coefficient c’est-à-dire 0,5 on va recommencer pareil jusqu’à la dernière valeur la dernière valeur ça va donc faire on va prendre la dernière valeur ses 15 on va regarder 2 combien elle s’écarte de l’espérance on va élever au carré pour éviter que ça de ce qu’on pense et on va multiplier par la probabilité 0,2 et voilà comment on calcule la variance est la variante on la note en général v2x et ensuite on va expliquer ce que c’est que l’écart type de la carte type c’est très simple ce qu’il faut comprendre c’est que imaginer que ici ce soit d euros comme vous avez élevée au carré du coup vous avez changé d’unité ici vous avez d euros au carré et donc ce qui est intéressant c’est de revenir à la même unité donc il faut faire l’opération inverse d’un carré et donc vous l’avez compris et bien l’écart type c’est pour ça qu’on va prendre la racine carrée de la variance tout simplement parce que quand on calcule la variance on élève au carré et donc on change d’unités et bien avec l’écart type on revient dans la même unité que celle de départ et donc je vous ai remis au propre les formules qu’il faut absolument connaître si vous avez une variable aléatoire dont vous avez ici la loi de probité pour calculer la variance la première étape c’est déjà de calculer l’espérance et comment on fait on fait x 1 x p 1 + x 2 x p 2 jusqu’à x l x p n et une fois qu’on a calculé l’espérance eh bien on calcule la variance est donc voilà la formule de la variance mais pas besoin d’apprendre par coeur il faut comprendre que la variance et bien ça va mesurer ce qu’on appelle la dispersion est ce que les notes sont régulières ou pas et donc on regarde l’écart entre les valeurs que vous avez et l’espérance est pour je le répète que les moins ne se compensent pas avec les plus est bien dans la définition on a élevé au carré et à chaque fois on multiplie par le coefficient par la probabilité et enfin il faut comprendre l’intérêt de l’écart type qui est égale à la racine carrée de la variance et que je le répète ici quand vous calculez la variance comme il ya un carré vous changer d’unité et donc l’intérêt de l’écart type c’est de revenir dans la même unité dernière chose que je voudrais rajouter c’est donc que la variance à permettent de mesurer la régularité ou pas d’un élève par exemple sur des notes c’est à dire on mesure la dispersion c’est ça qu’il faut bien comprendre on regarde l’écart au carré entre les notes et la moyenne ou l’espérance et donc il faut bien comprendre que plus les notes plus notes vont s’écarter de l’espérance est bien plus cette quantité va être grande au carré et donc plus la variance va augmenter donc plus votre variance va être grande plus la variance va être grande plus ça veut dire que les notes s’écarte de l’espérance plus la variance va être petit plus ça veut dire que les notes sont proches de l’espérance donc ça veut dire que la variance on dit que sa mesure la dispersion est évidemment l’écart type eh bien ça fonctionne exactement pareil parce que si la variance augmenté bien en prenant la racine carrée ça continue à augmenter donc plus l’écart type est élevé ça veut dire que plus est dispersée et plus l’écart type est petit et bien ça veut dire que – s’est dispersée et la valeur la plus petite qu on peut obtenir comme ici on a décaré et des pride est ici tout est positif la valeur la plus petite qu on peut obtenir et bien c’est zéro et si on a zéro eh bien ça veut dire que toutes les notes sont confondus avec l’espérance ça veut dire qu’on peut pas être moins dispersé que cela alors ce que je vous propose maintenant pour voir si vous avez bien compris comment utiliser ces formules et bien c’est de reprendre cette loi de probabilité de calcul est d’abord l’espérance de x et ensuite de calculer la variance et l’écart type et vous aurez la réponse dans la prochaine vidéo dont le lien va apparaitre ici en haut à droite voilà j’espère que cette vidéo vous a permis de bien comprendre ce que c’est que la variance et au lieu d’appliquer la formule bêtement de bien comprendre pourquoi ici il ya un carré et comme d’habitude si vous avez apprécié cette vidéo n’hésitez pas à la partager et à la laïque et

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